M द्रव्यमान वाले तीन समान पिंड R त्रिज्या के | vedclass

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Question

(C) $R$ त्रिज्या के वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे $M$ द्रव्यमान के तीन पिंडों पर विचार करें। मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज की भुजा

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$\sqrt {\frac{{GM}}{{\sqrt 3 R}}} $

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(C) $R$ त्रिज्या के वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे $M$ द्रव्यमान के तीन पिंडों पर विचार करें। मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $L$ है।केंद्र $O$ से किसी भी शीर्ष की दूरी $R$ है। एक समबाहु त्रिभुज में,केंद्र से शीर्ष की दूरी भुजा की लंबाई $L$ से $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है $L = \sqrt{3}R$।अन्य दो पिंडों द्वारा एक पिंड पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल दो बलों का सदिश योग है,जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $F = \frac{GM^2}{L^2}$ है। इन दो बलों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।परिणामी गुरुत्वाकर्षण बल $F_{net}$ इस प्रकार है:$F_{net} = 2F \cos(30^{\circ}) = 2 \left( \frac{GM^2}{L^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{L^2}$।यह परिणामी बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:$\frac{Mv^2}{R} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{L^2}$।$L^2 = 3R^2$ प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{Mv^2}{R} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{3R^2} = \frac{GM^2}{\sqrt{3}R^2}$।$v$ के लिए हल करने पर:$v^2 = \frac{GM}{\sqrt{3}R} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{\sqrt{3}R}}$।

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