બે વક્રો $C_1 : y = x^2 - 3$ અને $C_2 : y = kx^2, k \in R$,એકબીજાને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે. છેદબિંદુ $A \equiv (a, y_1), (a > 0)$ માંથી $C_2$ પર દોરેલો સ્પર્શક $C_1$ ને ફરીથી $B(1, y_2), (y_1 \neq y_2)$ બિંદુએ મળે છે. '$a$' નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{n^n(x+n)(x+\frac{n}{2}) \cdots (x+\frac{n}{n})}{n!(x^2+n^2)(x^2+\frac{n^2}{4}) \cdots (x^2+\frac{n^2}{n^2})} \right)^{\frac{x}{n}}$,તમામ $x > 0$ માટે. તો
$(A)$ $f(\frac{1}{2}) \geq f(1)$
$(B)$ $f(\frac{1}{3}) \leq f(\frac{2}{3})$
$(C)$ $f^{\prime}(2) \leq 0$
$(D)$ $\frac{f^{\prime}(3)}{f(3)} \geq \frac{f^{\prime}(2)}{f(2)}$

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x-[x])}{x-[x]} & , x \in (-2, -1) \\ \max \{2x, 3[|x|]\} & , |x| < 1 \\ 1 & , \text{અન્યથા} \end{cases}$ જ્યાં $[t]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq t$ દર્શાવે છે. જો $m$ એ એવા બિંદુઓની સંખ્યા છે જ્યાં $f$ સતત નથી અને $n$ એ એવા બિંદુઓની સંખ્યા છે જ્યાં $f$ વિકલનીય નથી,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(m, n)$ શું છે?

ધારો કે $f$ એક વિકલનીય વિધેય છે અને $x = 3$ આગળ $y = f(x)$ ના આલેખના અભિલંબનું સમીકરણ $3y = x + 18$ છે. જો $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {3 + {{\left( {4{{\tan }^{ - 1}}x - \pi } \right)}^2}} \right) - f\left( {3 + {{\left( {f\left( 3 \right) - x - 6} \right)}^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x - 1} \right)}}$ હોય,તો:

ધારો કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$ છે. તો:

વિધેય $f(x) = x \cos x - \sin x$ ધ્યાનમાં લો. સાચું વિધાન ઓળખો.