$R$ અને $2R$ ત્રિજ્યા અને $h$ સમાન ઊંચાઈ ધરાવતા બે નળાકાર પોલા ડ્રમ અનુક્રમે $\omega$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) અને $\omega$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) કોણીય વેગ સાથે ફરી રહ્યા છે. તેમની ધરીઓ,જે સ્થિર છે,તે સમાંતર છે અને એક સમક્ષિતિજ સમતલમાં $3R$ અંતરે અલગ થયેલી છે. હવે તેમને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે.
$(a)$ સંપર્ક પછી તરત જ ઘર્ષણ બળો દર્શાવો.
$(b)$ સંપર્ક પછી તરત જ સિસ્ટમની બહારના બળો અને ટોર્કને ઓળખો.
$(c)$ જ્યારે ઘર્ષણ બંધ થાય ત્યારે અંતિમ કોણીય વેગનો ગુણોત્તર શું હશે?

$m = 1 \ kg$ દળ અને $R = 1.25 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક રીંગને ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખવામાં આવી છે. સમાન દળ $m = 1 \ kg$ ધરાવતો એક નાનો પદાર્થ રીંગની ટોચ પર ચોંટાડેલો છે. જ્યારે તેને સહેજ આગળ ધક્કો મારવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગ જમીન પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ (pure rolling) શરૂ કરે છે. રીંગના કેન્દ્રની મહત્તમ ઝડપ ($m/s$ માં) કેટલી હશે?

એક સપાટ આડી સપાટી પર રાખેલ પદાર્થને તેના ઉપરના બિંદુ પર લાગતા અચળ આડા બળ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે. જો પદાર્થ સપાટી પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ (pure rolling) કરતો હોય,તો તેનો આકાર કેવો હોઈ શકે?

$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક વર્તુળાકાર રીંગ આડી ઘર્ષણરહિત સપાટી પર સ્થિર છે. $m$ દળ ધરાવતી અને $v$ વેગથી ગતિ કરતી એક ગોળી રીંગ સાથે અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે. રીંગની જાડાઈ $R$ કરતા ઘણી ઓછી છે. ગોળી રીંગ સાથે અથડાયા પછી તંત્ર જે કોણીય વેગથી ફરે છે તે શોધો.

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળામાંથી મહત્તમ શક્ય કદનો સમઘન કાપવામાં આવે છે. તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની એક સપાટીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સમઘનની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?

હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટના બોહરના સિદ્ધાંતની મુખ્ય લાક્ષણિકતા એ છે કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રોટોનની આસપાસ ફરે છે ત્યારે કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન થાય છે. આપણે આને દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે સામાન્ય પરિભ્રમણ ગતિ સુધી વિસ્તૃત કરીશું,તેને દ્રઢ ધારીને. લાગુ પાડવાનો નિયમ બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત છે.
$1.$ એક દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n$-માં સ્તર $(n=1, 2, 3, \dots)$ માં તેની પરિભ્રમણ ઉર્જા છે:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ એવું જોવા મળ્યું છે કે $CO$ અણુ માટે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ સુધીની પરિભ્રમણની ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ ની નજીક છે. તો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $CO$ અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી હશે? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ લો)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ અણુમાં,$C$ (દળ $= 12 \text{ a.m.u.}$) અને $O$ (દળ $= 16 \text{ a.m.u.}$) વચ્ચેનું અંતર,જ્યાં $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$,કેટલું હશે?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.