जड़त्व आघूर्ण I_1 और I_2 वाली दो डिस्क (डिस्क | vedclass

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Question

(A) निकाय का कुल प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$ है।जब डिस्क को जोड़ा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2$ हो जाता ह

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$\frac{I_1 I_2 (\omega_1 - \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$

Vedclass · Answer

(A) निकाय का कुल प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$ है।जब डिस्क को जोड़ा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2$ हो जाता है।मान लीजिए कि निकाय की सामान्य कोणीय गति $\omega$ है। कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega$ है।अतः,अंतिम कोणीय गति $\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$ है।प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ है।अंतिम गतिज ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \omega^2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2 = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ है।गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta E = E_i - E_f = \left( \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 \right) - \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ है।इस व्यंजक को सरल करने पर: $\Delta E = \frac{(I_1 + I_2)(I_1 \omega_1^2 + I_2 \omega_2^2) - (I_1^2 \omega_1^2 + I_2^2 \omega_2^2 + 2 I_1 I_2 \omega_1 \omega_2)}{2(I_1 + I_2)}$।$\Delta E = \frac{I_1^2 \omega_1^2 + I_1 I_2 \omega_2^2 + I_1 I_2 \omega_1^2 + I_2^2 \omega_2^2 - I_1^2 \omega_1^2 - I_2^2 \omega_2^2 - 2 I_1 I_2 \omega_1 \omega_2}{2(I_1 + I_2)} = \frac{I_1 I_2 (\omega_1^2 + \omega_2^2 - 2 \omega_1 \omega_2)}{2(I_1 + I_2)}$।अतः,$\Delta E = \frac{I_1 I_2 (\omega_1 - \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$।

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