વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ $AB$ અને $CD$ ને લંબાવતા તે બિંદુ $P$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $PB = PD$.

(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે જેમને લંબાવતા તે $P$ બિંદુમાં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PB = PD$.
રચના: $OR \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો. $OP$ ને જોડો.
સાબિતી: કારણ કે $OR \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ માંથી દોરેલ છે,
તેથી,$R$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
[કારણ કે કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલ લંબ જીવાને દુભાગે છે]
કારણ કે $AB = CD$ [આપેલ છે],
તેથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$.
તેથી,$AR = CQ$ અને $RB = QD$ $...(1)$
કારણ કે $AB = CD$,તેથી $OR = OQ$ $...(2)$
[કારણ કે સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે]
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ORP$ અને $\Delta OQP$ માં:
$\angle ORP = \angle OQP$ [દરેક $90^{\circ}$]
કર્ણ $OP = $ કર્ણ $OP$ [સામાન્ય બાજુ]
$OR = OQ$ [$(2)$ પરથી]
$\Delta ORP \cong \Delta OQP$ [કા.ક.બા. ($R$.$H$.$S$.) એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$RP = QP$ [$CPCT$ દ્વારા] $...(3)$
હવે,$(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$RP - RB = QP - QD$
$PB = PD$
આમ,સાબિત થાય છે.