एक शतरंज-बोर्ड पर दो वर्ग यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। उनके बीच एक भुजा सामान्य होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $A$ और $B$ दो ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,$P(A \cup B) = \frac{31}{45}$,और $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

तीन पासों को फेंकने पर,कम से कम एक पासे पर $1$ आने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $A$ उन सभी $4$-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है जिनमें कोई भी अंक $0$ नहीं है। मान लीजिए $B \subset A$ उन सभी संख्याओं $x$ से बना है जिनके अंकों का कोई भी क्रमपरिवर्तन $4$ से विभाज्य नहीं है। तो $B$ से सभी सम अंकों वाली संख्या निकालने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $B_{i} (i=1, 2, 3)$ एक प्रतिदर्श समष्टि में तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं। केवल $B_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $B_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $B_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि कोई भी घटना $B_{i}$ घटित नहीं होती है और ये $4$ प्रायिकताएँ समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती हैं (सभी प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी गई हैं)। तो $\frac{P(B_{1})}{P(B_{3})}$ का मान .......... है।

यदि एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे के दो बार फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो सभी $x \in R$ के लिए $x^{2}+\alpha x+\beta > 0$ होने की प्रायिकता क्या है?