मूल बिंदु से वृत्त {x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy | vedclass

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Question

(A) मूल बिंदु $(0, 0)$ से वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $S S_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$S = {

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${g^2} + {f^2} = 2c$

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(A) मूल बिंदु $(0, 0)$ से वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $S S_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$S = {x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c$,$S_1 = c$,और $T = gx + fy + c$ है। अतः,$c({x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c) = (gx + fy + c)^2$। इसका विस्तार करने पर,हमें $c{x^2} + c{y^2} + 2gcx + 2fcy + {c^2} = {g^2}{x^2} + {f^2}{y^2} + {c^2} + 2gfxy + 2gcx + 2fcy$ प्राप्त होता है। सरल करने पर,$(c - {g^2}){x^2} - 2gfxy + (c - {f^2}){y^2} = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,${x^2}$ और ${y^2}$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए। इसलिए,$(c - {g^2}) + (c - {f^2}) = 0$। अतः,${g^2} + {f^2} = 2c$ प्राप्त होता है।

मूल बिंदु से वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत होंगी,यदि

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