ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta = \frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}$ તમામ $n \in N$ માટે.

(A) $P(n): \cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta = \frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}, \quad \forall n \in N$
$n=1$ માટે,$L.H.S. = \cos \theta$
$R.H.S. = \frac{\sin 2 \theta}{2 \sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta} = \cos \theta$
$\therefore L.H.S. = R.H.S.$
$\therefore P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $\cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{k-1} \theta = \frac{\sin 2^{k} \theta}{2^{k} \sin \theta} \quad (i)$
$n=k+1$ માટે,આપણે $P(k+1)$ સાબિત કરવું છે: $\cos \theta \cdot \cos 2 \theta \ldots \cos 2^{k-1} \theta \cdot \cos 2^{k} \theta = \frac{\sin 2^{k+1} \theta}{2^{k+1} \sin \theta}$
$L.H.S. = \left( \frac{\sin 2^{k} \theta}{2^{k} \sin \theta} \right) \cdot \cos 2^{k} \theta \quad (\text{સમીકરણ } (i) \text{ નો ઉપયોગ કરતા})$
$= \frac{2 \sin 2^{k} \theta \cos 2^{k} \theta}{2 \cdot 2^{k} \sin \theta} = \frac{\sin 2(2^{k} \theta)}{2^{k+1} \sin \theta} = \frac{\sin 2^{k+1} \theta}{2^{k+1} \sin \theta}$
$\therefore P(k+1)$ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.