નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $1$: ત્રીજી સ્તંભને સમાન બનાવવા માટે $C_3$ ને $C_2$ માં ઉમેરો.
$C_2 \rightarrow C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha+\beta+\gamma & \beta+\gamma \\ \beta & \alpha+\beta+\gamma & \gamma+\alpha \\ \gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $2$: $C_2$ માંથી $(\alpha+\beta+\gamma)$ સામાન્ય લો.
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta & 1 & \gamma+\alpha \\ \gamma & 1 & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $3$: $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરો.
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta-\alpha & 0 & \alpha-\beta \\ \gamma-\alpha & 0 & \beta-\gamma\end{array}\right|$.
પગલું $4$: $C_2$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \cdot (-1) \cdot [(\beta-\alpha)(\beta-\gamma) - (\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)]$.
આમ,આપેલ પરિણામ સાબિત થાય છે.