સદિશ $i + j$ અને $j + k$ સાથે સમતલીય અને સદિશ $2i - 2j - 4k$ ને સમાંતર સદિશ કયો છે?

જો $a, b$ અને $c$ અનુક્રમે $b + c, c + a$ અને $a + b$ ને લંબ હોય,અને જો $|a + b| = 6, |b + c| = 8$ અને $|c + a| = 10$ હોય,તો $|a + b + c| = $

ધારો કે $a = 2i - j + k$,$b = i + 2j - k$ અને $c = i + j - 2k$ ત્રણ સદિશો છે. $b$ અને $c$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ જેનો $a$ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{2/3}$ માન ધરાવે છે તે શોધો.

ધારો કે બિંદુ $A$ એ બિંદુઓ $P(-1, -1, 2)$ અને $Q(5, 5, 10)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r : 1$ $(r > 0)$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય અને $(\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}) - \frac{1}{5}|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = 10$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a, b$ અને $c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે. બે રેખાઓના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ શોધો,જેમાં એક રેખા $a+2b-5c$ અને $-a-2b-3c$ બિંદુઓને જોડે છે અને બીજી રેખા $-4c$ અને $6a-4b+4c$ બિંદુઓને જોડે છે.

જો $A, B, C, D$ એ સ્થાન સદિશો $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, 2 \hat{i}-3 \hat{k}$ અને $3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ ધરાવતા બિંદુઓ હોય,તો $\overrightarrow{CD}$ પર $\overrightarrow{AB}$ નો પ્રક્ષેપ શોધો.