વિધેય $f(x)=x^{2}+2x-8, x \in[-4,2]$ માટે રોલના પ્રમેયને ચકાસો.

ધારો કે $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,અને $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ જ્યાં $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ જ્યાં $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ જ્યાં $x>0$,અને $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ જ્યાં $x>0$.
$(1)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ દરેક $x>1$ માટે,એક એવું $\alpha \in(1, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ દરેક $x>0$ માટે,એક એવું $\beta \in(0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ એ અંતરાલ $[0, \frac{3}{2}]$ પર વધતું વિધેય છે
$(2)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,બધા $x>0$ માટે
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,બધા $x>0$ માટે
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે

ધારો કે $f(x)=2+\cos x$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે છે.
$\text{વિધાન}-1$: દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે,$[t, t+\pi]$ માં એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c)=0$ થાય. કારણ કે
$\text{વિધાન}-2$: દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે $f(t)=f(t+2\pi)$ છે.

જો રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ માટે અંતરાલ $[-1, 1]$ માં બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ લાગુ પડતું હોય,તો $2a + b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(1) = -2$ અને $1 \le x \le 6$ માટે $f'(x) \ge 4.2$ છે. $f(6)$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત શોધો.

જો $f(x)=x^3+p x^2+q x$ એ $[0,2]$ પર વ્યાખ્યાયિત હોય અને $f(0)=f(2)$ તથા $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ હોય,તો $p^2+q^2=$