उस समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी सह-आदिम कोर (coterminous edges) सदिश $2i - 3j + 4k$,$i + 2j - 2k$,और $3i - j + k$ द्वारा निरूपित हैं।

सदिशों $u = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$,$v = a^2 \hat{i} + b^2 \hat{j} + c^2 \hat{k}$ और $w = a^3 \hat{i} + b^3 \hat{j} + c^3 \hat{k}$ पर विचार करें। ये सदिश समतलीय हैं यदि और केवल यदि

माना $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{k} - \hat{i}$ है। यदि $\vec{d}$ एक इकाई सदिश है ताकि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0 = [\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{d}]$ हो,तो $\vec{d}$ ज्ञात कीजिए।

अंतरिक्ष में चार बिंदुओं $A(1, -2, -1)$, $B(4, 0, -3)$, $C(1, 2, -1)$ और $D(2, -4, -5)$ पर विचार करें। यदि $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ और $\vec{d} = \vec{AD}$ है, तो $\frac{[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}]}{[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}]}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a = i - k$, $b = xi + j + (1 - x)k$, और $c = yi + xj + (1 + x - y)k$ है। तो $[a\,b\,c]$ किस पर निर्भर करता है?

यदि सदिश $4i+11j+mk$,$7i+2j+6k$ और $i+5j+4k$ समतलीय हैं,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।