माना vec{a} = hat{i} - hat{j},vec{b} = hat{j} | vedclass

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Question

(A) माना $\vec{d} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है। चूंकि $\vec{d}$ एक इकाई सदिश है,$x^2 + y^2 + z^2 = 1 \dots (i)$।दिया है $\vec{a} \cdot \vec{d}

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$\pm \frac{\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{6}}$

Vedclass · Answer

(A) माना $\vec{d} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है। चूंकि $\vec{d}$ एक इकाई सदिश है,$x^2 + y^2 + z^2 = 1 \dots (i)$।दिया है $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,अतः $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 0$,जिसका अर्थ है $x - y = 0$,यानी $x = y$।दिया है $[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{d}] = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{d}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के समतल में है। अतः $\vec{d} = \lambda(\vec{b} 	imes \vec{c})$।$\vec{b} 	imes \vec{c} = (\hat{j} - \hat{k}) 	imes (\hat{k} - \hat{i}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की गणना करने पर।अतः,$\vec{d} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।$\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ की शर्त की जाँच करने पर,$(\hat{i} - \hat{j}) \cdot \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \lambda(1 - 1 + 0) = 0$,जो किसी भी $\lambda$ के लिए सत्य है।$\vec{d}$ को $\vec{a}$ के लंबवत और $(\vec{b} 	imes \vec{c})$ के भी लंबवत होना चाहिए।अतः,$\vec{d} = \pm \frac{\vec{a} 	imes (\vec{b} 	imes \vec{c})}{|\vec{a} 	imes (\vec{b} 	imes \vec{c})|}$।$\vec{a} 	imes (\vec{b} 	imes \vec{c}) = (\hat{i} - \hat{j}) 	imes (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$।इसका परिमाण $\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ है।अतः,$\vec{d} = \pm \frac{-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{6}} = \pm \frac{\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{6}}$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समीकरण $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$ के मूल	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ फलन $f(x) = [\frac{6x}{\pi}] \cos [\frac{3x}{\pi}]$ के असातत्य के बिंदु,जहाँ $[y]$ का अर्थ $y$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है	$(q)$ $\frac{\pi}{4}$
$(C)$ समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे सदिशों $\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण,जहाँ $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं जो $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3}\vec{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते हैं	$(s)$ $\frac{\pi}{2}$
	$(t)$ $\pi$

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यदि सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ समतलीय हैं, तो $x=$

$\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{j})+\hat{k} \cdot(\hat{j} \times \hat{i})+\hat{i} \cdot(\hat{k} \times \hat{j})$ का मान . . . . . . है।

यदि $35 \hat{i}+14 \hat{j}-77 \hat{k}$,$2 \hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $5 \hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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