मान लीजिए कि $a, b$ और $c$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $p, q$ और $r$ वे सदिश हैं जो $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$ द्वारा परिभाषित हैं। तो, $(a+b) \cdot p+(b+c) \cdot q+(c+a) \cdot r$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जिनके परिमाण क्रमशः $1, 2, 3$ हैं,तो $[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $V = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $W = \hat{i} + 3\hat{k}$ है। यदि $U$ एक इकाई सदिश है, तो $[U V W]$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि $\vec{OA}=6 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$, $\vec{OB}=2 \hat{j}+\hat{k}$, और $\vec{OC}=5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के सह-अंतस्थ किनारे हैं, तो शीर्ष $A$ से खींची गई समांतर षट्फलक की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\bar{a}=\lambda \bar{i}+3 \bar{j}+4 \bar{k}$, $\bar{b}=3 \bar{i}-\bar{j}+\lambda \bar{k}$ और $\bar{c}=\lambda \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ किसी पूर्णांक $\lambda$ के लिए तीन सदिश हैं। यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ को सह-आदि किनारों के रूप में लेने वाले समांतर षट्फलक का आयतन $61$ घन इकाई है, तो $\lambda$ के संभावित मानों की संख्या है

मान लीजिए $a = i - k$, $b = xi + j + (1 - x)k$, और $c = yi + xj + (1 + x - y)k$ है। तो $[a\,b\,c]$ किस पर निर्भर करता है?