जब a अपरिमेय है,तो समीकरण 1+sin^2(ax)=cos(x) | vedclass

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Question

(A) हमारे पास समीकरण $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ है।चूंकि $\sin^2(ax) \geq 0$,इसलिए $1+\sin^2(ax) \geq 1$ है।साथ ही,हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$

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$1$

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(A) हमारे पास समीकरण $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ है।चूंकि $\sin^2(ax) \geq 0$,इसलिए $1+\sin^2(ax) \geq 1$ है।साथ ही,हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\cos(x) \leq 1$ होता है।समीकरण $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ के सत्य होने के लिए,दोनों पक्षों का मान $1$ होना चाहिए।अतः,$\cos(x) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x = 2n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)।$x = 2n\pi$ को समीकरण में रखने पर,$1+\sin^2(a(2n\pi)) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin^2(2an\pi) = 0$।इसका मतलब है $\sin(2an\pi) = 0$,तो $2an\pi = k\pi$ (जहाँ $k$ एक पूर्णांक है),जो $a = \frac{k}{2n}$ में सरल हो जाता है।यदि $n 
eq 0$ है,तो $a$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $a$ अपरिमेय है।इसलिए,$n$ के लिए केवल $0$ संभव है,जो $x = 0$ देता है।$x=0$ के लिए जाँच करने पर: $1+\sin^2(a \cdot 0) = 1+0 = 1$ और $\cos(0) = 1$।अतः,$x=0$ ही एकमात्र हल है।

जब $a$ अपरिमेय है,तो समीकरण $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ को संतुष्ट करने वाले हलों की संख्या है

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