જ્યારે a અસંમેય હોય,ત્યારે સમીકરણ 1+sin^2(ax) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણી પાસે સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ છે.$\sin^2(ax) \geq 0$ હોવાથી,$1+\sin^2(ax) \geq 1$ થાય.વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપણી પાસે સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ છે.$\sin^2(ax) \geq 0$ હોવાથી,$1+\sin^2(ax) \geq 1$ થાય.વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $\cos(x) \leq 1$ થાય.સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ સાચું હોવા માટે,બંને બાજુ $1$ હોવી જોઈએ.તેથી,$\cos(x) = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x = 2n\pi$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે).$x = 2n\pi$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$1+\sin^2(a(2n\pi)) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2(2an\pi) = 0$.આથી $\sin(2an\pi) = 0$,એટલે કે $2an\pi = k\pi$ (જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે),જેનું સાદું રૂપ $a = \frac{k}{2n}$ થાય.જો $n 
eq 0$ હોય,તો $a$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.પરંતુ,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $a$ અસંમેય છે.તેથી,$n$ માટે માત્ર $0$ શક્ય છે,જે $x = 0$ આપે છે.$x=0$ માટે ચકાસતા: $1+\sin^2(a \cdot 0) = 1+0 = 1$ અને $\cos(0) = 1$.આમ,$x=0$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.

જ્યારે $a$ અસંમેય હોય,ત્યારે સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ નું સમાધાન કરતા ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

ગણ $\{x \in R: \cos 2x + 2 \cos^2 x = 2\}$ એ શેના બરાબર છે?

જો $n$ કોઈ પૂર્ણાંક હોય,તો સમીકરણ $\cos x - \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શું છે?

જો $\sin 6\theta + \sin 4\theta + \sin 2\theta = 0$ હોય,તો $\theta = $

$\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો સમીકરણ $\sin \theta - 3 \sin 2 \theta + \sin 3 \theta = \cos \theta - 3 \cos 2 \theta + \cos 3 \theta$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module