निम्नलिखित में से कौन सा एक रिक्त समुच्चय है?

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Question

(A) विकल्प $A$ के लिए: $x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $x \in \mathbb{R}$ का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक $(x^2 \ge 0)$ होता है,

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$\left\{x: x^2+1=0, x \in \mathbb{R}\right\}$

Vedclass · Answer

(A) विकल्प $A$ के लिए: $x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $x \in \mathbb{R}$ का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक $(x^2 \ge 0)$ होता है,इसलिए ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो $x^2=-1$ को संतुष्ट करे। अतः,यह समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।विकल्प $B$ के लिए: $x^2-9=0$ $\Rightarrow x^2=9$ $\Rightarrow x = \pm 3$। यह समुच्चय $\{3, -3\}$ है,जो रिक्त नहीं है।विकल्प $C$ के लिए: $x^2-x-2=0$ $\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$ $\Rightarrow x=2, -1$। यह समुच्चय $\{2, -1\}$ है,जो रिक्त नहीं है।विकल्प $D$ के लिए: $x^2-1=0$ $\Rightarrow x^2=1$ $\Rightarrow x = \pm 1$। यह समुच्चय $\{1, -1\}$ है,जो रिक्त नहीं है।अतः,सही विकल्प $A$ है।

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यदि $A = \{1, 2, 3, 4, \dots, 10\}$ है, तो $A$ के केवल सम संख्याओं वाले अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या क्या है?

निम्नलिखित अंतराल को समुच्चय-निर्माण रूप (set-builder form) में लिखिए: $(-3, 0)$

मान लीजिए $A = \{ \theta : \sin(\theta) = \tan(\theta) \}$ और $B = \{ \theta : \cos(\theta) = 1 \}$ दो समुच्चय हैं। तब

बताइए कि निम्नलिखित में से कौन से समुच्चय परिमित (finite) हैं या अपरिमित (infinite): $\{ x:x \in N \text{ और } 2x - 1 = 0 \}$

निम्नलिखित में से कौन सा एक समुच्चय है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
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