intlimits_{frac{1}{2}}^2 {frac{1}{x}{{tan }^{ | vedclass

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Question

(C) माना कि $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}{{	an }^{2015}}\left( {x - \frac{1}{x}} ight)dx} $. $x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर

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(C) माना कि $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}{{	an }^{2015}}\left( {x - \frac{1}{x}} ight)dx} $. $x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x = \frac{1}{2}$,तब $t = 2$ और जब $x = 2$,तब $t = \frac{1}{2}$। अतः,$I = \int\limits_2^{\frac{1}{2}} {t \cdot {{	an }^{2015}}\left( {\frac{1}{t} - t} ight) \cdot \left( -\frac{1}{t^2} ight) dt} $. $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{t} \cdot {{	an }^{2015}}\left( {-(t - \frac{1}{t})} ight) dt} $. चूंकि $	an(- 	heta) = -	an(	heta)$,इसलिए $	an^{2015}(-(t - \frac{1}{t})) = -	an^{2015}(t - \frac{1}{t})$। इस प्रकार,$I = - \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{t} {{	an }^{2015}}\left( {t - \frac{1}{t}} ight) dt} = -I$। $2I = 0 \Rightarrow I = 0$।

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}{{\tan }^{2015}}\left( {x - \frac{1}{x}} \right)dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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