int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{tan ^{7} x}{cot ^ | vedclass

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Question

(B) माना $ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{	an ^{7} x}{\cot ^{7} x+	an ^{7} x} d x $. गुणधर्म $ \int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x $ का उप

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$ \frac{\pi}{4} $

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(B) माना $ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{	an ^{7} x}{\cot ^{7} x+	an ^{7} x} d x $. गुणधर्म $ \int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x $ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{	an ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)}{\cot ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)+	an ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)} d x $. चूंकि $ 	an(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x $ और $ \cot(\frac{\pi}{2}-x) = 	an x $,इसलिए: $ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cot ^{7} x}{	an ^{7} x+\cot ^{7} x} d x $. $ I $ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $ 2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{	an ^{7} x + \cot ^{7} x}{	an ^{7} x+\cot ^{7} x} d x = \int_{0}^{\pi / 2} 1 d x $. $ 2I = [x]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} $. अतः,$ I = \frac{\pi}{4} $.

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$x > 0$ के लिए,यदि $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x}+\frac{1+\sin ^2 x}{1+e^{\sin x^{323}}}\right) d x=\frac{\pi}{4}(\pi+a)-2$ का मान है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\cos x+\tan^5 x) dx$ का मान . . . . . . है।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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