$\cot^{-1}(1) + \cot^{-1} (\frac{1}{2}) + \cot^{-1}(\frac{1}{3}) =$

ધારો કે $x = \sin(2 \tan^{-1} \alpha)$ અને $y = \sin(\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{4}{3})$. જો $S = \{\alpha \in R : y^2 = 1 - x\}$ હોય,તો $\sum_{\alpha \in S} 16 \alpha^3$ ની કિંમત $...........$ થાય.

ધારો કે $k \in R$ માટે,સમીકરણ $\cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right)=k$,જ્યાં $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$,ના ઉકેલો $\alpha$ અને $\beta$ છે,જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માત્ર મુખ્ય કિંમતો લે છે. જો સમીકરણ $x^{2}- bx -5=0$ ના ઉકેલો $\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$ અને $\frac{\alpha}{\beta}$ હોય,તો $\frac{b}{k^{2}}$ ની કિંમત $......$ છે.

જો $x=\sin \left(2 \tan ^{-1} 2\right)$ અને $y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$,હોય તો

પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા,સમીકરણ $\cos ^{-1}(x) - 2 \sin ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$ ના તમામ ઉકેલોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\sin ^{-1}(\sin 100) + \cos ^{-1}(\cos 100) + \tan ^{-1}(\tan 100) + \cot ^{-1}(\cot 100)$ ની કિંમત શોધો.