$x \in[-1,1]$ માટે સમીકરણ $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધો,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.

જો $\alpha = 3 \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right)$ અને $\beta = 3 \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ હોય,જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માત્ર મુખ્ય કિંમતો લે છે,તો સાચો વિકલ્પ/વિકલ્પો કયા છે?
$(A) \cos \beta > 0$
$(B) \sin \beta < 0$
$(C) \cos(\alpha + \beta) > 0$
$(D) \cos \alpha < 0$

સમીકરણ $\tan^{-1}\sqrt{x(x+1)} + \sin^{-1}\sqrt{x^2+x+1} = \pi/2$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$\cos ^{-1} \left[ \cot \left( \sin ^{-1} \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} \right) + \cos ^{-1} \left( \frac{\sqrt{12}}{4} \right) + \sec ^{-1} \sqrt{2} \right]$ ની કિંમત શોધો.

જો $x=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ અને $y=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ હોય,તો $\frac{dy}{dx}$ શોધો.

$\sec ^2(\tan ^{-1} 2)+\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3)$ ની કિંમત શોધો.