intlimits_{ - 1}^{frac{3}{2}} {|xsin pi x|dx} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણે વિધેય $f(x) = |x \sin(\pi x)|$ ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. પદ $x \sin(\pi x)$ એ $x = 0$ અને $x = 1$ પર ચિહ્ન બદલે છે. $x \in [-1, 0]$ માટે,$x \l

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$

Vedclass · Answer

(B) આપણે વિધેય $f(x) = |x \sin(\pi x)|$ ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. પદ $x \sin(\pi x)$ એ $x = 0$ અને $x = 1$ પર ચિહ્ન બદલે છે. $x \in [-1, 0]$ માટે,$x \leq 0$ અને $\sin(\pi x) \leq 0$,તેથી $x \sin(\pi x) \geq 0$. $x \in [0, 1]$ માટે,$x \geq 0$ અને $\sin(\pi x) \geq 0$,તેથી $x \sin(\pi x) \geq 0$. $x \in [1, 3/2]$ માટે,$x > 0$ અને $\sin(\pi x) આમ,$|x \sin(\pi x)| = x \sin(\pi x)$ જ્યારે $x \in [-1, 1]$ અને $-x \sin(\pi x)$ જ્યારે $x \in [1, 3/2]$. $\int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| dx = \int_{-1}^{1} x \sin(\pi x) dx - \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sin(\pi x) dx = -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} + C$. પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{-1}^{1} x \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{-1}^{1} = \left( -\frac{1 \cdot (-1)}{\pi} + 0 \right) - \left( -\frac{(-1) \cdot (-1)}{\pi} + 0 \right) = \frac{1}{\pi} - (-\frac{1}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$. બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{1}^{3/2} = \left( 0 + \frac{\sin(3\pi/2)}{\pi^2} \right) - \left( -\frac{1 \cdot (-1)}{\pi} + 0 \right) = -\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$. કુલ સંકલન = $\frac{2}{\pi} - (-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}) = \frac{2}{\pi} + \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{\pi} = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

$\int\limits_{ - 1}^{\frac{3}{2}} {|x\sin \pi x|dx} $ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ $(x \geq 0)$ છે. તો $f(3) - f(1)$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cosec} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{-1}^{2} \left[ \frac{[x]}{1 + x^2} \right] dx$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $(GIF)$ દર્શાવે છે.

$a$ ના મૂલ્યોનો ગણ જે સમીકરણ $\int_{0}^{2} (t - \log_{2} a) \, dt = \log_{2} \left( \frac{4}{a^{2}} \right)$ નું સમાધાન કરે છે તે શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module