$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{{{\cot }^3}x - \tan x}}{{\cos \left( {x + \pi /4} \right)}}$ का मान है

मान लीजिए $[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है और $k \geq 2$ एक पूर्णांक है। तो $\lim_{x \rightarrow k} \frac{\sin \left(2 \pi\left([x]-\left[\frac{x}{k}\right]\right)-x\right)+\sin k}{x-k} = $

मान लीजिए कि $\alpha$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: (\alpha, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ फलन हैं जो $f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{12}\right)$ और $g(x) = \frac{2 \log_{e}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\log_{e}(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$ द्वारा परिभाषित हैं। तो $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} f(g(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log \cos x}}{x} = $

सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{1^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}} + {2^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}} + \dots + {n^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}} \right\}^{{{\sin }^2}x}}$ का मान क्या है?

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log (3 + x) - \log (3 - x)}}{x} = k$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।