मान लीजिए [x] x से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $f(x) = \sin \left(2 \pi\left([x]-\left[\frac{x}{k}\right]\right)-x\right) + \sin k$. जैसे ही $x \rightarrow k$,पद $[x] - [x/k]$ पूर्णां

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$-\cos k$

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(C) मान लीजिए $f(x) = \sin \left(2 \pi\left([x]-\left[\frac{x}{k}\right]\right)-x\right) + \sin k$. जैसे ही $x \rightarrow k$,पद $[x] - [x/k]$ पूर्णांक मान लेता है। विशेष रूप से,$k$ के एक छोटे पड़ोस में $x$ के लिए,$[x] = k$ और $[x/k] = 1$ (चूंकि $k \geq 2$)। अतः,पद $2 \pi ([x] - [x/k])$ $\pi$ का एक सम गुणज है,मान लीजिए $2 \pi m$। इसलिए,$\sin(2 \pi m - x) = \sin(-x) = -\sin x$। सीमा $\lim_{x \rightarrow k} \frac{-\sin x + \sin k}{x - k}$ बन जाती है। $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\lim_{x \rightarrow k} \frac{-\cos x}{1} = -\cos k$।

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यदि $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(3)=16$ और $f^{\prime}(3)=4$,तो $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x f(3)-3 f(x)}{x-3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \sin x} - \sqrt {1 - \sin x} }}{x} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log _e}(1 + x)}{{3^x - 1}} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{x}-1}{x} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$, $x=0$ पर अवकलनीय है। यदि $f(0)=0$ और $f'(0)=2$ है, तो $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} [f(x)+f(2 x)+f(3 x)+\ldots+f(2015 x)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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