અચળ ઝડપથી ગતિ કરતાં પદાર્થ પર થતું કુલ કાર્ય કેટલું હોય?

$m$ દળનો એક કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેનો સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t$ એ કાપેલા અંતર $x$ સાથે $a_t = \alpha x^2$ મુજબ બદલાય છે, જ્યાં $\alpha$ અચળાંક છે. કણની ગતિઊર્જા $K$ એ અંતર સાથે $K = \beta x^c$ મુજબ બદલાય છે, જ્યાં $\beta$ અને $c$ અચળાંકો છે. $\beta$ અને $c$ ના મૂલ્યો શોધો.

એક ટેબલ પર $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી ઉભી સ્પ્રિંગ રાખેલી છે. $m$ દળનો એક દડો સ્પ્રિંગના મુક્ત ઉપરના છેડાથી $h$ ઊંચાઈએથી સ્પ્રિંગ પર પડે છે,જેથી સ્પ્રિંગ $d$ જેટલી દબાય છે. આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય કેટલું છે?

$2 \ kg$ દળ ધરાવતો પદાર્થ, જે $2 \times 10^4 \ N/m$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી અદબાયેલી સ્પ્રિંગથી $1.2 \ m$ ઊંચાઈ પર છે, તેને સ્થિર સ્થિતિમાંથી સ્પ્રિંગ પર પડવા દેવામાં આવે છે. ગુરુત્વપ્રવેગ $10 \ m/s^2$ લેતા અને હવાના અવરોધને અવગણતા, સ્પ્રિંગમાં થતું સંકોચન $mm$ માં કેટલું હશે?

જમીનથી $h$ ઊંચાઈ પરથી, એક દડાને સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે। જો દડો તેની પ્રારંભિક ઝડપ $40 \,ms^{-1}$ ના $1.25$ ગણી ઝડપે જમીન સાથે અથડાય, તો $h$ નું મૂલ્ય શોધો (ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $= 10 \,ms^{-2}$) ($\,m$ માં)

એક પરિમાણમાં પદાર્થ પર લાગતા ચલ બળ માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય તારવો.