$^nC_r \div ^nC_{r-1} = $

$5$ चाबियों को एक छल्ले (ring) में कितने तरीकों से पिरोया जा सकता है?

$8$ पुरुषों और $10$ महिलाओं में से $5$ पुरुषों और $6$ महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 12\}$ को समान आकार के तीन समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित किया जाना है। इस प्रकार $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \emptyset$ है। $S$ को विभाजित करने के तरीकों की संख्या है

यदि $QUEEN$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके सभी अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बनाए जाते हैं और उन्हें अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है,तो $QUEEN$ शब्द का स्थान क्या होगा ($^{th}$ में)?

एक शहर में किन्हीं भी दो व्यक्तियों के दांतों का सेट समान नहीं है और ऐसा कोई व्यक्ति नहीं है जिसके एक भी दांत न हो। साथ ही,किसी भी व्यक्ति के $32$ से अधिक दांत नहीं हैं। यदि हम दांतों के आकार और माप को अनदेखा करें और केवल $32$ स्थानों पर दांत की उपस्थिति या अनुपस्थिति पर विचार करें,तो शहर की अधिकतम जनसंख्या क्या है?