sum_{0 le i

Question

(D) ધારો કે $S = \sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$.સરવાળાનો ક્રમ બદલીને આપણે લખી શકીએ:$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$.અંદર

Vedclass · Accepted Answer

$n(n - 1) 2^{n-3}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $S = \sum_{0 \le i સરવાળાનો ક્રમ બદલીને આપણે લખી શકીએ:$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$.અંદરનો સરવાળો પ્રથમ $(j-1)$ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે: $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$.તેથી,$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} \frac{n!}{j!(n-j)!} j(j-1)$.નિત્યસમ $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^{n} \binom{n-2}{j-2}$.ધારો કે $k = j-2$,તો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k} = 2^{n-2}$ થાય.તેથી,$S = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.

$\sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$1, 2, 3, 2, 3, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી $7$ અંકની સંખ્યાઓ કેટલી છે?

એક વ્યક્તિને $7$ મિત્રો છે. તે તેમાંથી એક અથવા વધુ મિત્રોને ચાની પાર્ટી માટે કેટલી રીતે આમંત્રિત કરી શકે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module