alpha_r અને beta_r (alpha_r

Question

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ છે.ધારો કે બીજ $\alpha_r$ અને $\beta_r$ છે. બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}n(n + 1)(n^2 + 3n + 1)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ છે.ધારો કે બીજ $\alpha_r$ અને $\beta_r$ છે. બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1) = r^3 + r^2$ અને $\alpha_r \beta_r = r^5$ મળે.અહીં $r^5 = r^2 \cdot r^3$ હોવાથી,બીજ $\alpha_r = r^2$ અને $\beta_r = r^3$ થાય (જ્યાં $\alpha_r આપણે $S = \sum_{r=1}^n (3\alpha_r + 2\beta_r) = 3\sum_{r=1}^n r^2 + 2\sum_{r=1}^n r^3$ ની ગણતરી કરવાની છે.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{r=1}^n r^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{2}$.$\frac{n(n+1)}{2}$ સામાન્ય લેતા,$S = \frac{n(n+1)}{2} [ (2n+1) + n(n+1) ] = \frac{n(n+1)}{2} [ 2n + 1 + n^2 + n ] = \frac{n(n+1)}{2} (n^2 + 3n + 1)$ મળે.

$\alpha_r$ અને $\beta_r$ $(\alpha_r < \beta_r)$ એ $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ ના બીજ છે. $\sum_{r=1}^n (3\alpha_r + 2\beta_r)$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

આપેલા બે સમીકરણો ઉકેલો અને યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો.
$I.$ $2x^{2} - 13x + 21 = 0$
$II.$ $5y^{2} - 22y + 21 = 0$

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $2x^2 - 2(m^2 + 1)x + m^4 + m^2 + 1 = 0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^2 + \beta^2$ બરાબર શું થાય?

આપેલા બે સમીકરણો ઉકેલો અને યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો.
$I.$ $7x + 4y = 3$
$II.$ $5x + 3y = 3$

ધારો કે $p, q \in Q$. જો $2 - \sqrt{3}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ નું એક બીજ હોય,તો:

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - ax + b = 0$ ના બીજ હોય અને જો $\alpha^n + \beta^n = V_n$ હોય,તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module