sumlimits_{n = 1}^infty {sumlimits_{k = 1}^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^{n+k}}$.આપણે સરવાળાને $S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^

Vedclass · Accepted Answer

$\frac {4}{9}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^{n+k}}$.આપણે સરવાળાને $S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k}$ તરીકે લખી શકીએ.અંકગણિત-ભૌમિતિક શ્રેણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n-1} k x^k = \frac{x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} - \frac{(n-1)x^n}{1-x}$. $x = \frac{1}{2}$ માટે,આ સાદું રૂપ $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}$ આપે છે.આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \left( 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{2^n} - \frac{n+1}{2^{2n-1}} \right)$.$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} - \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2^{2n-1}}$.પ્રથમ ભાગ એક ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.બીજો ભાગ $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2^{2n-1}} = 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{4^n} = 2 \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n} \right)$ છે.$\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 1/4$ માટે,આપણને $\frac{1/4}{(3/4)^2} = \frac{4}{9}$ મળે છે.$\sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1-x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 1/4$ માટે,આપણને $\frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ મળે છે.તેથી,બીજો ભાગ $2 \left( \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{4+3}{9} \right) = \frac{14}{9}$ છે.અંતે,$S = 2 - \frac{14}{9} = \frac{18-14}{9} = \frac{4}{9}$.

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{k}{{{2^{n + k}}}}} } $ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $\{a_n\}$ માં,$a_1 = 3$,$a_n = 96$ અને $S_n = 189$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં હોય,તો સુરેખા $ax + by + c = 0$ હંમેશા કયા બિંદુમાંથી પસાર થશે?

$0.14189189189...$ ને સંમેય સંખ્યા તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module