sin 12^circ sin 24^circ sin 48^circ sin 84^ci | vedclass

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Question

(A) हमें गुणनफल $P = \sin 12^\circ \sin 24^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ$ का मान ज्ञात करना है।सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का

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$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ $

Vedclass · Answer

(A) हमें गुणनफल $P = \sin 12^\circ \sin 24^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ$ का मान ज्ञात करना है।सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:$P = \frac{1}{4} (2 \sin 12^\circ \sin 48^\circ) (2 \sin 24^\circ \sin 84^\circ)$$P = \frac{1}{4} (\cos 36^\circ - \cos 60^\circ) (\cos 60^\circ - \cos 108^\circ)$चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$,और $\cos 108^\circ = -\sin 18^\circ = -\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ है:$P = \frac{1}{4} (\frac{\sqrt{5}+1}{4} - \frac{1}{2}) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{\sqrt{5}-1}{4}) (\frac{\sqrt{5}+1}{4}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{5-1}{16} = \frac{1}{16}$.अब,विकल्प $A$ का मूल्यांकन करें: $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ$.सर्वसमिका $\cos 	heta \cos(60^\circ - 	heta) \cos(60^\circ + 	heta) = \frac{1}{4} \cos 3	heta$ का उपयोग करने पर:$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{4} \cos(3 	imes 20^\circ) = \frac{1}{4} \cos 60^\circ = \frac{1}{4} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.अतः,$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.दोनों व्यंजकों का मान $\frac{1}{16}$ है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

$\sin 12^\circ \sin 24^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ = $

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