$O$ એ લંબચોરસ $ABCD$ ની અંદરનું કોઈ પણ બિંદુ છે (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે $OB^{2} + OD^{2} = OA^{2} + OC^{2}$.

(N/A) $O$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ \parallel BC$ દોરો,જેથી $P$ એ $AB$ પર અને $Q$ એ $DC$ પર હોય.
હવે,$PQ \parallel BC$.
તેથી,$PQ \perp AB$ અને $PQ \perp DC$ (કારણ કે $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle C = 90^{\circ}$).
તેથી,$\angle BPQ = 90^{\circ}$ અને $\angle CQP = 90^{\circ}$.
આમ,$BPQC$ અને $APQD$ બંને લંબચોરસ છે.
હવે,$\Delta OPB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OB^{2} = BP^{2} + OP^{2}$ $...(1)$
તે જ રીતે,$\Delta OQD$ માં:
$OD^{2} = OQ^{2} + DQ^{2}$ $...(2)$
$\Delta OQC$ માં,આપણી પાસે છે:
$OC^{2} = OQ^{2} + CQ^{2}$ $...(3)$
અને $\Delta OAP$ માં,આપણી પાસે છે:
$OA^{2} = AP^{2} + OP^{2}$ $...(4)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$OB^{2} + OD^{2} = BP^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + DQ^{2}$
કારણ કે $BP = CQ$ અને $DQ = AP$ (લંબચોરસ $BPQC$ અને $APQD$ ની સામસામેની બાજુઓ):
$OB^{2} + OD^{2} = CQ^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + AP^{2}$
પદોને ગોઠવતા:
$OB^{2} + OD^{2} = (CQ^{2} + OQ^{2}) + (AP^{2} + OP^{2})$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$OB^{2} + OD^{2} = OC^{2} + OA^{2}$.