Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABQ$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $PQ$ એ $\Delta ABQ$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$2$. $\Delta APQ$ માં,$R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QR$ એ $\Delta APQ$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$3$. $AQ$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,$\operatorname{ar} (ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
આ કિંમત મૂકતા,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$.
$4$. હવે,$\Delta ARC$ ને ધ્યાનમાં લો. $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CR$ એ $\Delta APC$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APC)$.
$5$. $CP$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,$\operatorname{ar} (APC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
$6$. પરિણામોની સરખામણી કરતા: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$ અને $\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
સ્પષ્ટ છે કે,$\frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC))$.
આમ,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABQ$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $PQ$ એ $\Delta ABQ$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$2$. $\Delta APQ$ માં,$R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QR$ એ $\Delta APQ$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$3$. $AQ$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,$\operatorname{ar} (ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
આ કિંમત મૂકતા,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$.
$4$. હવે,$\Delta ARC$ ને ધ્યાનમાં લો. $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CR$ એ $\Delta APC$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APC)$.
$5$. $CP$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,$\operatorname{ar} (APC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
$6$. પરિણામોની સરખામણી કરતા: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$ અને $\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
સ્પષ્ટ છે કે,$\frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC))$.
આમ,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
Explore More
Similar Questions
આકૃતિમાં,$BC$ પર $D$ અને $E$ એવા બે બિંદુઓ છે કે જેથી $BD = DE = EC$ થાય. સાબિત કરો કે $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$.
શું હવે તમે આ પ્રકરણની 'પ્રસ્તાવના'માં છોડેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો છો કે શું બુધિયાનું ખેતર ખરેખર સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રણ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે?
શું હવે તમે આ પ્રકરણની 'પ્રસ્તાવના'માં છોડેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો છો કે શું બુધિયાનું ખેતર ખરેખર સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રણ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે?
Medium
View Solution$P$ અને $Q$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\text{ar} (PBQ) = \text{ar} (ARC)$.
Medium
View Solution$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB || DC$ છે. $AC$ ને સમાંતર એક રેખા $AB$ ને $X$ માં અને $BC$ ને $Y$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(ADX) = \operatorname{ar}(ACY)$. [સૂચના: $CX$ ને જોડો.]
Difficult
View Solutionનીચેનામાંથી કઈ આકૃતિઓ સમાન પાયા પર અને સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલી છે? આવા કિસ્સામાં,સામાન્ય પાયો અને બે સમાંતર રેખાઓ લખો.
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$ABC$ અને $BDE$ બે સમબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $AE$ એ $BC$ ને $F$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo