આકૃતિમાં,$ABC$ અને $BDE$ બે સમબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $AE$ એ $BC$ ને $F$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ $2x$ છે. તેથી $BC = 2x$. $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = DC = x$. $BDE$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$BD = DE = BE = x$.
$(i)$ $\operatorname{ar}(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x)^2 = \sqrt{3}x^2$. $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$. આમ,$\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$.
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$. $\triangle BAE$ નો પાયો $BE=x$ છે અને વેધ $\triangle ABC$ ના વેધ જેટલો એટલે કે $\sqrt{3}x$ છે. $\operatorname{ar}(BAE) = \frac{1}{2} \times x \times \sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 = 2 \operatorname{ar}(BDE)$. તેથી,$\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$.
$(iii)$ $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\triangle BEC$ અને $\triangle ABC$ સમાન વેધ ધરાવે છે. તેથી,$\operatorname{ar}(BEC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABC)$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$.
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(ABE) - \operatorname{ar}(ABF)$. સમાન પાયા અને સમાન સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,સાબિત કરી શકાય છે કે $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$.
$(v)$ $F$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,$\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$.
$(vi)$ કુલ ક્ષેત્રફળના સંદર્ભમાં ગણતરી કરતા,$\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$ મળે છે.