Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(RQC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(ABC)$.
(N/A) આપેલ છે: $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$1$. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CP$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta PBC$ માં,$PQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$3$. $\Delta APQ$ માં,$RQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$4$. આમ,$\operatorname{ar}(\Delta RQC) = \operatorname{ar}(\Delta RQP) + \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1+2}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$1$. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CP$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta PBC$ માં,$PQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$3$. $\Delta APQ$ માં,$RQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$4$. આમ,$\operatorname{ar}(\Delta RQC) = \operatorname{ar}(\Delta RQP) + \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1+2}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
Explore More
Similar Questions
$D, E$ અને $F$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$.
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. $BCED$,$ACFG$ અને $ABMN$ એ અનુક્રમે $BC$,$CA$ અને $AB$ બાજુઓ પરના ચોરસ છે. રેખાખંડ $AX \perp DE$ એ $BC$ ને $Y$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે: $\operatorname{ar}(BCED) = \operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG)$
Medium
View Solution$D, E$ અને $F$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}( BDEF ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}( ABC )$
Medium
View Solution$AB || DC$ હોય તેવા સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $ar(AOD) = ar(BOC).$
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$P$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના અંદરના ભાગમાં આવેલું એક બિંદુ છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$
[સૂચન: $P$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો.]
$(i)$ $\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$
[સૂચન: $P$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો.]
Difficult
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo