$D, E$ અને $F$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}( BDEF ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}( ABC )$

(N/A) આપેલ છે કે $D, E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$FE \parallel BC$ અને $FE = \frac{1}{2} BC = BD$ થાય.
અહીં $FE \parallel BD$ અને $FE = BD$ હોવાથી,$BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તે જ રીતે,$AFDE$ અને $FDCE$ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDEF$ માં,વિકર્ણ $DE$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ થાય.
તે જ રીતે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માં,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $FDCE$ માં,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC)$ થાય.
આમ,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$ થાય.
હવે,$\operatorname{ar}(BDEF) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{2}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.