Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Medium$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि $\operatorname{ar}( BDEF ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}( ABC )$
(N/A) दिया गया है कि $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$FE \parallel BC$ और $FE = \frac{1}{2} BC = BD$ है।
चूँकि $FE \parallel BD$ और $FE = BD$ है,इसलिए $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार,$AFDE$ और $FDCE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ है।
इसी प्रकार,समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ और समांतर चतुर्भुज $FDCE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC)$ है।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$ है।
अब,$\operatorname{ar}(BDEF) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{2}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$FE \parallel BC$ और $FE = \frac{1}{2} BC = BD$ है।
चूँकि $FE \parallel BD$ और $FE = BD$ है,इसलिए $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार,$AFDE$ और $FDCE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ है।
इसी प्रकार,समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ और समांतर चतुर्भुज $FDCE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC)$ है।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$ है।
अब,$\operatorname{ar}(BDEF) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{2}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।
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