$PQ$ અને $RS$ બે સમાન અને સમાંતર રેખાખંડો છે. $PQ$ અથવા $RS$ પર ન હોય તેવા કોઈપણ બિંદુ $M$ ને $Q$ અને $S$ સાથે જોડવામાં આવે છે. $P$ માંથી $QM$ ને સમાંતર અને $R$ માંથી $SM$ ને સમાંતર રેખાઓ દોરવામાં આવે છે જે $N$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે રેખાખંડો $MN$ અને $PQ$ એકબીજાને સમાન અને સમાંતર છે.

(N/A) આપેલ શરતો મુજબ આપણે આકૃતિ દોરીએ છીએ.
આપેલ છે કે $PQ = RS$ અને $PQ \parallel RS$. તેથી,$PQSR$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$PR = QS$ અને $PR \parallel QS$ ... $(1)$
હવે,$PR \parallel QS$.
તેથી,$\angle RPQ + \angle PQS = 180^{\circ}$ (છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો).
એટલે કે,$\angle RPQ + \angle PQM + \angle MQS = 180^{\circ}$ ... $(2)$
વળી,$PN \parallel QM$ (રચના દ્વારા).
તેથી,$\angle NPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$ ... $(3)$
એટલે કે,$\angle NPR + \angle RPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$.
$(2)$ અને $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\angle NPR = \angle MQS$ મળે છે ... $(4)$
તે જ રીતે,$\angle NRP = \angle MSQ$ ... $(5)$
તેથી,$\Delta PNR \cong \Delta QMS$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત દ્વારા,$(1)$,$(4)$ અને $(5)$ નો ઉપયોગ કરીને].
તેથી,$PN = QM$ અને $NR = MS$ ($CPCT$ દ્વારા).
જેમ કે $PN = QM$ અને $PN \parallel QM$,તેથી $PQMN$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$MN = PQ$ અને $NM \parallel PQ$.