$P, Q, R$ और $S$ क्रमशः एक चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं,जिसमें $AC = BD$ है। सिद्ध कीजिए कि $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।

(N/A) एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC = BD$ है और $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। अर्थात,$PQ$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है।
$\therefore PQ \parallel AC$ $... (1)$
और $PQ = \frac{1}{2} AC$ $... (2)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
$\Delta ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore SR \parallel AC$ $... (3)$
और $SR = \frac{1}{2} AC$ $... (4)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
$(1)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ \parallel SR$.
$(2)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ = RS$.
चूंकि $PQ \parallel SR$ और $PQ = RS$,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta DAB$ में,$SP$ भुजाओं $DA$ और $AB$ के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है।
$\therefore SP = \frac{1}{2} BD$ $... (5)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
दिया है $AC = BD$ $... (6)$
समीकरणों $(2), (5)$ और $(6)$ से,हमें प्राप्त होता है $SP = PQ$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ बराबर हैं $(SP = PQ)$,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
इति सिद्धम्।