$PL, QM$ और $RN$ त्रिभुज $\Delta PQR$ के शीर्षलंब (altitudes) हैं। यदि $PL = QM = RN$ है,तो सर्वांगसमता के $AAS$ मानदंड द्वारा सिद्ध कीजिए कि $\Delta PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,मान लीजिए $PL \perp QR$,$QM \perp PR$,और $RN \perp PQ$ है। दिया गया है कि $PL = QM = RN$ है।
$2$. $\Delta QRN$ और $\Delta RQM$ पर विचार करें। यहाँ $\angle QNR = \angle RMQ = 90^{\circ}$,$QR = RQ$ (उभयनिष्ठ भुजा),और $RN = QM$ (दिया है)।
$3$. $RHS$ सर्वांगसमता नियम से,$\Delta QRN \cong \Delta RQM$ है। अतः,$\angle RQN = \angle QRM$,जिसका अर्थ है कि $\angle RQP = \angle QRP$ है।
$4$. इसी प्रकार,$\Delta PQL$ और $\Delta QPM$ पर विचार करके,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle QPR = \angle PQR$ है।
$5$. चूँकि $\angle PQR = \angle QRP$ और $\angle QPR = \angle PQR$ है,इसलिए $\angle PQR = \angle QRP = \angle QPR$ होगा।
$6$. चूँकि सभी कोण बराबर हैं,अतः $\Delta PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।