$\lim _{n \rightarrow \infty} \tan \left\{\sum_{r=1}^{n} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right)\right\}$ का मान .......... है।

यदि $x+iy = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$ है,तो $\operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \frac{y}{x} - \frac{\pi}{4}\right) = $

दिया गया है कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान ग्रहण करता है। मान लीजिए $x, y$ अंतराल $[-1, 1]$ में कोई दो वास्तविक संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$,जहाँ $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ है। तब,$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha$ का न्यूनतम मान है

$\sec ^2(\tan ^{-1} 2)+\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3)$ का मान है

$x$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $x>0$ और $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $\operatorname{Sin}^{-1} x - \operatorname{Cos}^{-1} x = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$ के हल हैं और $\alpha > \beta$ है,तो $3\alpha + 4\beta =$