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Question

(B) हमें दिया गया है कि $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$। सर्वसमिका $\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त

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(B) हमें दिया गया है कि $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$। सर्वसमिका $\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos ^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y) = \alpha$ $\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} + \alpha$। चूँकि $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]$,इसलिए $\frac{\pi}{2} + \alpha \in [0, \frac{3\pi}{2}]$ है। दोनों पक्षों का कोसाइन (cosine) लेने पर: $\cos(\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ $xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -\sin \alpha$ $xy + \sin \alpha = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(xy + \sin \alpha)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$ $x^2y^2 + 2xy \sin \alpha + \sin^2 \alpha = 1 - x^2 - y^2 + x^2y^2$ $x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ $x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha = \cos^2 \alpha$। $\cos^2 \alpha$ का न्यूनतम मान $0$ है,जो $\alpha = \frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है। अतः,न्यूनतम मान $0$ है।

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