यदि द्विघात समीकरण 4^{sec^2 alpha} x^2 + 2x + | vedclass

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Question

(B) द्विघात समीकरण $4^{\sec^2 \alpha} x^2 + 2x + (\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए। $D

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$\frac{\pi}{3} + 1$

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(B) द्विघात समीकरण $4^{\sec^2 \alpha} x^2 + 2x + (\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए। $D = (2)^2 - 4(4^{\sec^2 \alpha})(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \geq 0$ $4^{\sec^2 \alpha}(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \leq 1$ चूंकि $\sec^2 \alpha \geq 1$,इसलिए $4^{\sec^2 \alpha} \geq 4$ और $\beta^2 - \beta + \frac{1}{2} = (\beta - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4}$। अतः,$4^{\sec^2 \alpha}(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \geq 4 	imes \frac{1}{4} = 1$। समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$4^{\sec^2 \alpha} = 4$ और $\beta = \frac{1}{2}$ होना चाहिए,जिससे $\cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$\cos^2 \alpha + \cos^{-1} \beta = 1 + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 1 + \frac{\pi}{3}$।

यदि द्विघात समीकरण $4^{\sec^2 \alpha} x^2 + 2x + (\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) = 0$ के मूल वास्तविक हैं,तो $\cos^2 \alpha + \cos^{-1} \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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