$\tan^{-1} 2x + \tan^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$ के हलों की संख्या क्या है?

$\cot ^{-1}\left(2 \cdot 1^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 2^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 3^{2}\right)+\ldots$ अनंत तक का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sin^{-1}(\tan \frac{\pi}{4}) - \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{6}$ है, तो $x$ किस समीकरण का एक मूल है:

मान लीजिए $(x, y)$ इस प्रकार हैं कि $\sin ^{-1}(a x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(b x y)=\frac{\pi}{2}$। कॉलम $I$ के कथनों का कॉलम $II$ के कथनों से मिलान करें।

कॉलम $I$	कॉलम $II$
$(A)$ यदि $a=1$ और $b=0$,तो $(x, y)$	$(p)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर स्थित है
$(B)$ यदि $a=1$ और $b=1$,तो $(x, y)$	$(q)$ $(x^2-1)(y^2-1)=0$ पर स्थित है
$(C)$ यदि $a=1$ और $b=2$,तो $(x, y)$	$(r)$ $y=x$ पर स्थित है
$(D)$ यदि $a=2$ और $b=2$,तो $(x, y)$	$(s)$ $(4x^2-1)(y^2-1)=0$ पर स्थित है

समीकरण $\tan^{-1}\sqrt{x(x+1)} + \sin^{-1}\sqrt{x^2+x+1} = \pi/2$ के वास्तविक हलों की संख्या है

यदि $u = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} \right)$ और $v = 2 \tan^{-1} x$ है,तो $\frac{du}{dv}$ का मान ज्ञात कीजिए।