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Question

(C) माना दिया गया सीमा $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{r=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{2^{n}}}}$ है।$2^{n} = t$ प्रति

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$2$

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(C) माना दिया गया सीमा $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{r=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{2^{n}}}}$ है।$2^{n} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जब $n \rightarrow \infty$ तब $t \rightarrow \infty$ होता है।व्यंजक $I = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \sum_{r=1}^{t-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{t}}}$ बन जाता है।यह रीमान योग के रूप $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n})$ में है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ है।अतः,$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$ है।$u = 1-x$ लेने पर,$du = -dx$ प्राप्त होता है। जब $x=0, u=1$ और जब $x=1, u=0$ होता है।$I = \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (-du) = \int_{0}^{1} u^{-1/2} du$ है।$I = [2u^{1/2}]_{0}^{1} = 2(1) - 2(0) = 2$।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{n}}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}} = $

मान लीजिए $S = \frac{2}{1} {}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3} {}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1} {}^{n}C_{n}$ है। तो, $S$ का मान क्या है?

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