मान लीजिए S = frac{2}{1} {}^{n}C_{0} + frac{2 | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^{n} = {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $

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$\frac{3^{n+1}-1}{n+1}$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^{n} = {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $2$ तक समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:$\int_{0}^{2} (1+x)^{n} dx = \int_{0}^{2} \left( {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n} \right) dx$.बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{2} = \frac{(1+2)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:$\left[ x{}^{n}C_{0} + \frac{x^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{x^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{x^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{1}{}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n}$.अतः, $S = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.

मान लीजिए $S = \frac{2}{1} {}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3} {}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1} {}^{n}C_{n}$ है। तो, $S$ का मान क्या है?

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$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{\sqrt{4 n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-2^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-3^2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-n^2}}\right\}=$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{n+m}+\frac{1}{n+2 m}+\frac{1}{n+3 m}+\ldots+\frac{1}{n+n m}\right\}=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{r}{{\sqrt {{n^2} + {r^2}} }}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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