श्रेणी frac{2^{3}-1^{3}}{1 times 7}+frac{4^{3 | vedclass

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Question

(C) माना $n$-वां पद $T_n$ है। $n$-वें पद का अंश $S_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} k^3 = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \ldots + (2n)^3$ है। इसे $S_n = \sum_{

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$120$

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(C) माना $n$-वां पद $T_n$ है। $n$-वें पद का अंश $S_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} k^3 = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \ldots + (2n)^3$ है। इसे $S_n = \sum_{k=1}^{n} ((2k)^3 - (2k-1)^3)$ के रूप में लिखा जा सकता है। सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,$(2k)^3 - (2k-1)^3 = 12k^2 - 6k + 1$ प्राप्त होता है। अतः,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (12k^2 - 6k + 1) = n^2(4n+3)$। $n$-वें पद का हर $n(4n+3)$ है। इसलिए,$T_n = \frac{n^2(4n+3)}{n(4n+3)} = n$। श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{15} T_n = \sum_{n=1}^{15} n = \frac{15 	imes 16}{2} = 120$ है।

श्रेणी $\frac{2^{3}-1^{3}}{1 \times 7}+\frac{4^{3}-3^{3}+2^{3}-1^{3}}{2 \times 11}+\frac{6^{3}-5^{3}+4^{3}-3^{3}+2^{3}-1^{3}}{3 \times 15}+\ldots + \frac{30^{3}-29^{3}+\ldots+2^{3}-1^{3}}{15 \times 63}$ का योग किसके बराबर है?

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