यदि प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को उपसमुच्चयों $S_1 = \{1\}, S_2 = \{2, 3\}, S_3 = \{4, 5, 6\}$ इत्यादि में विभाजित किया जाता है,तो $S_{50}$ में पदों का योग क्या है?

यदि $\alpha, \beta$ ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ हैं कि $100^{\alpha} - 199\beta = (100)(100) + (99)(101) + (98)(102) + \ldots + (1)(199)$ है,तो $(\alpha, \beta)$ और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम $7, 77, 777, 7777, \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए $n+2n+3n+\ldots+99n$ एक पूर्ण वर्ग है,तो $n^2$ के अंकों की संख्या क्या है?

उन सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ भी एक पूर्णांक है।

मान लीजिए $n \geq 1$ के लिए $S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \cdot k^2$ है। यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $S_{2n} = -n(2n+1)$ दिया गया है,तो $S_{77} =$