उन सभी धनात्मक पूर्णांकों n का योग ज्ञात कीजि | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ है।सूत्रों $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ और $\sum_{k

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$8$

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(A) दिया गया व्यंजक $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ है।सूत्रों $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ और $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$S = \frac{\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6n(2n+1)}{n+1} = 12n - 6 + \frac{6}{n+1}$.$S$ के पूर्णांक होने के लिए,$n+1$ को $6$ का भाजक होना चाहिए।$6$ के भाजक $1, 2, 3, 6$ हैं।अतः $n+1 \in \{1, 2, 3, 6\}$,जिससे $n \in \{0, 1, 2, 5\}$ प्राप्त होता है।चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $n \in \{1, 2, 5\}$।इन मानों का योग $1+2+5 = 8$ है।

उन सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ भी एक पूर्णांक है।

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