બધા જ ધન પૂર્ણાંકો n નો સરવાળો શોધો જેના માટે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ છે.સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ અને $\sum_{k=1}^

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ છે.સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ અને $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \frac{\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6n(2n+1)}{n+1} = 12n - 6 + \frac{6}{n+1}$.$S$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $n+1$ એ $6$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.$6$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6$ છે.તેથી $n+1 \in \{1, 2, 3, 6\}$,જે આપણને $n \in \{0, 1, 2, 5\}$ આપે છે.$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી $n \in \{1, 2, 5\}$.આ કિંમતોનો સરવાળો $1+2+5 = 8$ થાય છે.

બધા જ ધન પૂર્ણાંકો $n$ નો સરવાળો શોધો જેના માટે $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ પણ એક પૂર્ણાંક હોય.

Similar Questions

કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે,સરવાળો $\sum_{k=1}^n k(k+2)$ કોના બરાબર છે?

શ્રેણી $5+11+19+29+41+\ldots$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $..........$ છે.

શ્રેણી $1^2 + 2(2^2) + 3^2 + 2(4^2) + 5^2 + 2(6^2) + \dots + 2(2m)^2$ નો સરવાળો શોધો.

નીચેની શ્રેણી $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $n$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જેથી $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} \geq 4$ થાય. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module