बिंदु A(-2, 0) से गुजरने वाली एक रेखा परवलय P | vedclass

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Question

(C) माना बिंदु $A(-2, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = m(x + 2)$ है।परवलय के समीकरण $y^2 = x - 2$ में $x = \frac{y}{m} - 2$ प्रतिस्थापित करने पर

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$\frac{8}{3}$

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(C) माना बिंदु $A(-2, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = m(x + 2)$ है।परवलय के समीकरण $y^2 = x - 2$ में $x = \frac{y}{m} - 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = \frac{y}{m} - 2 - 2$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - \frac{y}{m} + 4 = 0$ या $my^2 - y + 4m = 0$ में सरल हो जाता है।चूंकि रेखा परवलय को स्पर्श करती है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।$(-1)^2 - 4(m)(4m) = 0 \implies 1 - 16m^2 = 0 \implies m^2 = \frac{1}{16} \implies m = \frac{1}{4}$ (चूंकि $B$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $m > 0$)।स्पर्शरेखा का समीकरण $y = \frac{1}{4}(x + 2)$ या $x = 4y - 2$ है।स्पर्श बिंदु $B$ ज्ञात करने के लिए $m = \frac{1}{4}$ को $y^2 - 4y + 4 = 0$ में रखने पर,$(y - 2)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $y = 2$ मिलता है। तब $x = 4(2) - 2 = 6$। अतः $B = (6, 2)$।रेखा $AB$,परवलय $P$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $y = 0$ से $y = 2$ तक समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (x_{	ext{line}} - x_{	ext{parabola}}) dy = \int_{0}^{2} ((4y - 2) - (y^2 + 2)) dy = \int_{0}^{2} (4y - 4 - y^2) dy$.क्षेत्रफल $= [2y^2 - 4y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{2} = (2(4) - 4(2) - \frac{8}{3}) - 0 = 8 - 8 - \frac{8}{3} = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

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